点数问题与机率论的源起

时间:2020-07-22

1654年,法国贵族迪默勒 (Chevalier de Méré) 向数学家巴斯卡提出一个赌金分配问题。那就是在一场未完成的赌局中,如何分配赌金呢?这些「赌金」来自赌徒在一开始所下注的。根据惯例,只要一下注,直到游戏结束前,这些赌金是不属于任何人的,结束时,只有赢家能拥有全部赌金。

迪默勒的问题是:在已知玩家们的部份得分之下,如何去分配这中断赌局的赌金,这就是现在所谓的「点数问题」(problem of points)。为了「公平」起见,这个答案必须设法反映:若赌局继续,每位玩家得胜的可能性。底下是迪默勒点数问题的一个精简版本:

赛维尔和伊凡各出 $$10$$ 元玩掷铜板游戏。每人轮流掷铜板,如果掷出的铜板落地正面朝上者,掷铜板者得一点;若不是掷出正面,则另一人得一点。第一个得到三点的人可赢得 $$20$$ 元。现在,假设这个游戏在赛维尔已得两点,而伊凡得一点,且赛维尔正要投掷时,不得不取消。那幺,分配这 $$20$$ 元的公平方法是什幺呢?

巴斯卡(Blaise Pascal)考虑过的实际点数问题,问的是在这一类中断的游戏中,所有可能的得分。巴斯卡将这问题告知费马(Pierre de Fermat)。在他们的通信当中,一个新的数学领域 – 机率论 — 悄悄诞生了。这两位数学家对于这问题使用了不尽相同的方法,但却得到相同的答案。底下,利用巴斯卡解法来解上述简例:

在掷铜板的游戏里,一个公正的铜板掷出正面或反面是机会均等的。因此,如果每一位玩家都拥有两点,那幺,在下一次的投掷,每一个人赢得游戏胜利的机会是相等的。所以,每一位玩家分得赌局一半的总赌金 $$10$$ 元,应该是公平的。在本例中,赛维尔已得两点,而伊凡得一点。如果赛维尔掷了铜板并且赢了,则他得到了 $$3$$ 点,因此可得 $$20$$ 元。

如果赛维尔输了,则每名玩家各有 $$2$$ 点,因此,每一个人有资格得到 $$10$$ 元。故赛维尔在这个游戏中,至少保证可以得 $$10$$ 元。又赛维尔在这次的投掷中,输或赢的机会是相等的,所以,其它 $$10$$ 元应该由玩家们平分。结果,赛维尔应该得 $$15$$ 元而伊凡得 $$5$$ 元。

巴斯卡接着处理中断赌局的其它情况,他把每一个情况化约到之前已解决的情况并依此分钱。后来,巴斯卡和费马将这问题及其解法一般化,并延伸探讨其他机遇游戏 (game of chance)。不久,他们的研究激起了欧洲科学社群的兴趣,而其他学者也相继开始挑战赌博游戏的分析工作。

机率论的核心概念,是将某未知事件会发生或已经发生的可能性(likelihood)加以量化。就如巴斯卡的解法所提示,理解这个过程的关键在于:结果出现的机会均等之概念。如果一个状况可以被发生机会均等的结果所描述,那幺,结果的其中之一可能发生的机率,就是所有结果总数分之一。卡丹诺 (Girolamo Cardano) 早在迪默勒在玩掷骰子前一百年,就已经发现和探讨过这个原理了,但是,他的相关着作《论机遇游戏》(Liber de Ludo Aleae)却一直到巴斯卡与费马解决了迪默勒问题九年后才出版。

在那一本着作内,卡丹诺提出了一个近似今日我们所称的大数法则(law of large number)。在出现机会均等的观点下,这个法则其实用以确认我们的常识。譬如说吧,如果丢一个公正的骰子,六面中的任何一面出现的机会均等。因此,如我们在 $$6$$ 次的丢掷中有一次的机会丢出 $$5$$;它的机率是 $$1/6$$。这并不保证我们丢了 $$6$$ 次,其中 $$5$$ 正好出现一次,但是,大数法则告诉我们:丢了 $$100$$ 或 $$1000$$ 甚至 $$1,000,000$$ 次,$$5$$ 出现的次数会有越来越接近于投掷总数 $$1/6$$ 的倾向。

1657 年,海更斯(Christiaan Huygens)在他的《论机率博奕的计算》论文中,把巴斯卡和费马的想法联结起来,并且将它延伸到有三个人或更多玩家情况的游戏中。海更斯的进路是从「出现机会均等」结果的概念出发。他的核心工具不是机率的现代概念,而是期望值或者是「预期结果」的概念。底下是一个简单的示例:「你有投掷一个骰子的机会。如果出现 $$6$$ 点,你得到 $$10$$ 元; 如果出现 $$3$$ 点,你得到 $$5$$ 元;其他的状况,你什幺也没得到。如此一来,玩这场游戏该支付的一个合理的价钱是多少呢?」

从现代观点来看,这一游戏的数学期望值是透过每一个可能的报酬与它的机率的乘积加总而得。在本例中,骰子六面当中的每一面之出现机会均等(假设骰子是公正的),因此,你有六分之一的机会得到 $$10$$ 元,六分之一的机会得到 $$5$$ 元,以及六分之四的机会什幺也没得到。因此,数学期望值为:

$$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\$10+\frac{1}{6}\cdot\$5+\frac{4}{6}\cdot\$0=\$ 2.50 $$

换言之,如果一个赌场让客人付 $$2.50$$ 元来玩这个游戏,那幺,这赌场期望最后是不赚不赔的。如果玩这游戏要付 $$3$$ 元,它会期望长期来说,庄家就能从每位玩家手上赚到 $$0.5$$ 元。(如果你买一种 $$1$$ 元的乐透彩,并且,利用彩券背面的数据计算你的数学期望值,你将发现它是比 $$1$$ 少得多。这或许就是国家要发行乐透彩的原因了。)

海更斯逆转了这个过程,使用期望值去计算机率,而不是用机率计算期望值。但是,基本想法是相同的︰机率相等的结果意味着期望值相等。

数学期望值,像大多数的机率论一样,它的应用远多于抽奖和赌博。尤其,当保险公司承保保险单时,这是他们评价风险的根本模式。伯努利(Jacob Bernoulli)在他的《猜度术》(Ars Conjectandi)里,收录了机率的广泛的应用。本书出版于他身后八年的1713年。其中,伯努利研究理论机率和它各种实际应用的相关性。尤其是,他体认到当讨论人的寿命与健康等主题时,发生机会均等的假定是一个严重的限制,所以,他建议改以统计资料为基础的进路去探讨。

从此,伯努利也增强了卡丹诺的大数法则概念。他主张,在可重複的实验中,如果某个「我们希望产生的」结果在理论上发生机率是p,那幺,任意给定误差範围,只要实验次数足够多,希望产生的结果总数与实验总数的比值和 $$p$$ 的差距,就会在这个给定範围内。按照这个原则来看,观测的数据便可以用来估计现实世界情况的事件机率。

机率的观点不是容易被接受的。例如,考虑人寿保险。我们觉得,机率的思维显然将帮助公司去出售人寿保险赚钱。特别地,因为我们相信大数法则,所以,我们知道如果出售很多保单对这公司来说,是再好不过的了。因为它出售的保单越多,死亡率就越有希望如预期的那样,公司将因此而获利。不过,在18世纪,很多公司好像认为,贩售每一张新保单的会增加公司的风险。因此,他们觉得出售太多保单肯定危险﹗

在18世纪期间,数学社群对机率问题的兴趣,被不同的人导引至不同的结果。接近该世纪末时,法国数学家拉普拉斯(Pierre Laplace),开始对机率问题感兴趣。在1774到1786年间,他写了一系列有关机率问题的论文。1812年,拉普拉斯出版《机率的分析理论》(Thèorie Analytique des Probabilités),那是一本百科全书式的着作,蒐罗到当时为止,他自己与其他数学家在这方面的所有研究。

这本书的确是一本杰作,但是,一般人都难以亲近它的大部分内容。于是,在1814年,拉普拉斯在其二版中,写了一篇长达153页的序文。这篇序文后来独立出版名为《机率的哲学小品》(Philosophical Essay on Probabilities) 的小册子,由于意在普及,故其中只包含相当少的数学符号或公式。还有,在这本小册子中,拉普拉斯主张将数学机率应用在更广泛的人类活动中,包括政治和我们现今所谓的社会科学。

随着统计的研究在过去两世纪的发展,机率论这门学问已经提供了许多工具,让伯努利和拉普拉斯的理想成真。今天,机率的想法不仅应用在他们建议的领域之中,而且也扩及教育,商业,医学以及很多其他学门。 


参考书目

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